Der zehnjährige Robert wurde unter Domkapellmeister Jan August Vitásek, seinem Taufpaten, Sängerknabe am Prager Veitsdom. Er besuchte die Humanitätsschule und erhielt zudem von Vitásek Unterricht in Komposition und Orgelspiel. Nachdem er zeitweise die Domorganisten vertreten hatte, wurde er 1826 zweiter Domorganist und hatte außerdem die Sängerknaben zu unterrichten und den Domkapellmeister zu vertreten. 1830 wurde er Organist im Prämonstratenserstift Strahov und am 11. Januar 1831 erster Organist am Veitsdom. Seit 1830 war er auch Lehrer an der neu gegründeten Orgelschule. Nach dem Tode Vitáseks am 7. Dezember 1839 wurde Führer am 21. Dezember 1839 Domkapellmeister.



Seine am 8. Mai 1832 notgedrungen geschlossene Ehe war unglücklich. Trunksucht, Wechselfälschung und Betrug führten zu gerichtlicher Verurteilung und der Domkapellmeister musste daraufhin am 6. Januar 1845 sein Rücktrittsgesuch einreichen. Führer trennte sich von seiner Frau und den beiden Söhnen und führte fortan ein unstetes Leben. Er ging nach Wien, dann zurück nach Prag. Seine weiteren Stationen waren Salzburg, München, Augsburg, Freising, Eggenfelden, Braunau am Inn, Gmunden, Vöcklabruck, Wels, Neuhofen bei Linz, Sankt Florian, Linz, Maria-Taferl, Wolfsegg, Altheim, Ried im Innkreis, Aspach und schließlich Wien. Wirtschaftliche Schwierigkeiten und häufige Krankheiten lähmten seine Kräfte. Obdachlos geworden fand er am 4. Oktober 1861 Aufnahme im Allgemeinen Krankenhaus, wo er kurze Zeit später starb.



Führer komponierte zahlreiche geistliche Chorwerke (Messen, Requiem, Litaneien, u.v.m.). Die Qualität seiner Kompositionen ist sehr unterschiedlich, neben großen, wertvollen Schöpfungen entstanden auch Gelegenheitskompositionen von mäßiger Qualität. Sein Können wurde jedoch anerkannt und gewürdigt. Franz Xaver Witt, Gründer des Deutschen Cäcilienvereins und ein scharfer Gegner seiner Werke musste eingestehen, "dass Führer eine Kompositionsfähigkeit und technische Gewandtheit im musikalischen Satz hat, wie man sie nicht leicht findet; damit vereinigt er eine bedeutende Leichtigkeit der Erfindung und einen natürlichen Fluss der Melodie, Eigenschaften, die immer für einen Komponisten einnehmen."