Die im Umkreis von Marktheidenfeld wirkenden Komponisten und Musiker, die Patres Franz Xaver Bitthäuser und Peter Dornbusch vom Stift der Augustiner-Chorherren Triefenstein sowie Peregrin Pögl von der Benediktinerabtei Neustadt, waren neben dem Vater seine ersten Lehrer. Aus der örtlichen Schule wechselte er im Alter von elf Jahren an das Gymnasium in Mannheim, wo er von Ignaz Holzbauer und Abbé Vogler unterrichtet wurde. Ab 1782 studierte er an der Universität Würzburg, wo er 1783 zum Dr. phil. promovierte und dann weiter Jura studierte.
Neben seiner Tätigkeit als Kabinettssekretär war Friedrich Fleischmann in der Meininger Hofkapelle als Musiker und daneben als Komponist und Musiktheoretiker tätig.
Seine Kompositionen erschienen überwiegend im Musikverlag André in Offenbach.
1796 schrieb er das Singspiel Die Geisterinsel. In der Forschung wird es mittlerweile für sehr wahrscheinlich gehalten, dass das Wiegenlied „Schlafe, mein Prinzchen, schlaf ein“, welches bisher Wolfgang Amadeus Mozart (KV 350) oder dem Berliner Arzt Bernhard Flies zugeschrieben wurde, tatsächlich von Fleischmann stammt (Untersuchungen von E. Goretzki)
